새길이 찾아가는 작은 세상

지난 주 개인적으로 좋지 않은 소식이 들려오고, 차 사고가 나고, 등등등...

별로 좋지 않은 1주일을 보내며 영상 제작하는데 손이 잘 가지 않았습니다.

좀 늦었지만 이 시리즈 영상 계속 제작해서 올리겠습니다. 이 시리즈는 총 5편으로 제작할 예정입니다. 이 영상은 4번째 영상입니다.

이 영상은 엑셀을 이용하여 트랙커에서 얻은 운동 데이터를 분석하는 방법에 대한 내용을 포함하고 있습니다.

이 영상은 ‘강원도교육과학정보원’의 지원으로 제작되었습니다.

이 영상에는 트랙커를 이용하여 포물선운동을 하는 물체의 운동을 분석하는 내용이 들어가 있습니다.

이 영상은 ‘강원도교육과학정보원’의 지원으로 제작되었습니다.

[새길]

이 영상은 물체의 운동을 분석하는 프로그램인 트랙커를 다운로드 받고 설치하는 과정에 대한 내용입니다.

화면을 보실 때는 전체화면에서 [설정] – [품질]에서 480p이상에서 보실 것을 권해드립니다.

이 영상은 ‘강원도교육과학정보원’의 지원으로 제작되었습니다.

엑셀을 이용하여 등가속도 운동을 분석하는 방법에 관한 영상입니다.

화면을 보실 때는 전체화면에서 [설정] – [품질]에서 480p이상에서 보실 것을 권해드립니다.

이 자료는 ‘강원도교육과학정보원의 지원으로 제작되었습니다.

자체인덕턴스는 전류가 순간적으로 상승하거나 하강하는 것을 막아주는 역할을 수행한다. 이런 인덕터스를 가지고 있는 것을 인덕터(inductor)라고 하고 우리가 흔히 코일이나 솔레노이드라고 하는 장치를 사용한다. 회로도에서 기호로는 다음과 같은 기호를 사용한다.

다음과 같이 저항과 인덕터로 구성된 회로를 생각해 보자.

처음에 이 회로에 흐르는 전류는 0이고, 일 때 스위치를 닫는다. 스위치를 닫으면 전류 가 흐르게 되는데 이 전류에 의해 저항에서는 전압강하 이 일어난다. 또한 인덕터에서 전류가 증가할 때 전류 증가를 방해하는 유도기전력이 발생하게 된다. 이때의 기전력은 가 된다. 따라서 회로를 따라서 전압의 변화는 다음과 같다.

따라서 

로 표시할 수 있다.

여기서 로 표시하고 양변을 미분하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

따라서 

일 때 이므로 가 된다. 따라서 다음과 같이 고쳐 쓸 수 있다.

여기서 이라고 하면 전류는 다음과 같이 표현할 수 있다.

을 회로의 시상수(time constant)라고 한다. 자체인덕턴스가 크거나 저항 R이 작을수록 전류가 증가하는데 더 시간이 걸리는 것을 알 수 있다.

아래 그래프는 의 그래프로 위의 전류가 어떻게 변화되는지를 알 수 있다.

이제는 LR회로에서 스위치를 껐을 때 일어나는 현상을 알아보자. 다음 그림과 같은 회로를 보자.

회로에서 스위치 가 열려 있는 상황에서 스위치 을 닫으면  저항 과 인덕터 이 직렬로 연결된 회로가 된다. 이 때는 앞에서 언급한 것과 같이 전류가 일정해 질 때까지 인덕터에서 전류의 증가를 방해하는 유도전류가 발생하게 된다. 전류가 일정하게 된 상황에서 를 닫고, 을 열게 되면 회로의 오른쪽에서 전류가 감소하게 되면서 인덕터 에 전류 감소를 방해하는 유도기전력이 발생하게 된다. 오른쪽 닫힌 회로에서 전류 가 흐르는 순간의 닫힘 회로 전체에서의 전압강하는 0이 되므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

따라서 위의 식을 정리하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

시간이 0일 때의 전류를 라고 하면 적분상수 는 다음과 같이 쓸 수 있다.

따라서 임의의 시간에서 전류의 는 다음과 같이 표현되는 것을 알 수 있다.

여기서 로 시상수이다.

아래의 그래프는 의 그래프를 그린 것으로 전원이 꺼질 때 LR회로의 전류의 변화를 알 수 있다.

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어떤 회로를 지나는 자기력 선속(자속, magnetic flux)는 그 회로의 전류와 가까이 있는 다른 회로의 전류에 의해 결정된다.

위의 회로에서 P점에서의 자속은 다음과 같이 표현할 수 있다.

P점에서의 자속 = 에 의한 자속 + 에 의한 자속

따라서 회로 2를 지나는 자속을 라고 하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

여기서 상수 를 회로 2의 자체 인덕턴스(self inductance)라고 하고, 이 값은 회로2의 기하학적 모양에 관계된다. 또 를 두 회로의 상호 인덕턴스(mutual inductance)라고 하며 두 회로의 기하학적인 모양에 관계된다. 특히 두 회로가 멀리 떨어져 있을 때 전류 에 의하여 만들어지는 회로 2를 지나는 자속은 작아지며 상호인덕턴스도 작아진다.

이와 유사하게 회로 1을 지나는 자속 은 다음과 같이 표현할 수 있다.

자체인덕턴스 은 회로 1의 기하학적인 모양에만 의존하고 상호인덕턴스 은 두 회로의 기하학적인 모양에 따른다. 명백하지는 않지만 일반적으로 이들 두 상호인덕턴스는 같다고 볼 수있다. 즉, 으로 쓸 수 있다.

회로들이 고정되어 있고 전류만 변화하면 회로에 유도된 기전력은 패러데이의 법칙에 의해 다음과 같이 쓸 수 있다.

인덕턴스의 SI단위는 헨리(henry, H)를 사용한다.

인덕턴스는 항상 자유공간에서의 투자율(permeability of free space) 와 어떤 특정 길이의 곱으로 나타낼 수 있다. 따라서 상수 의 단위는 H/m로 나타낼 수 있다.

원리적으로 자체인덕턴스와 상호인덕턴스는 어느 주어진 회로와 배치에 대해서는 간단히 계산된다. 예를 들어 을 계산하려면 어떤 전류 을 결정하고 회로에 둘러싸인 어떤 면 위의 각 점에서의 자기장을 비오-사바르(Biot-Savart)의 법칙으로부터 계산하면 된다. 이 자기장은 물론 전류 에 비례할 것이다. 따라서 이 면적에 걸쳐 적분하여 이 자기장의 자속을 계산하다. 는 에 비례하므로 자속도 에 비례할 것이다. 이때 비례상수 은 자체인덕턴스이다. 마찬가지로 회로 1에 흐르는 어떤 전류 을 결정하고, 회로 2에 둘러싸인 면 위의 각 점에서의 자기장을 계산한 다음, 이 자기장으로부터 그 회로를 지나는 자속을 계산하면 상호인덕턴스를 계산할 수 있다. 일반적으로 비오-사바르의 법칙으로부터 자기장을 계산하고 임의의 면에 걸쳐 이 자기장을 적분하는 것은 어렵기 때문에 몇 가지 간단한 기하학적 모양인 경우 이외에 자체인덕턴스 및 상호인덕턴스를 계산하는 것은 매우 어렵다. 따라서 근사적으로 계산할 수 있는 두 가지 예를 보도록 하자.

● 솔레노이드의 자체 인덕턴스

길이가 이고, 번 감은 솔레노이드에 전류 가 흐를 때 솔레노이드 내부의 자기장은 거의 균일하며 이 자기장의 세기는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서 은 단위길이 당 감은 횟수이다. 이 솔레노이드에서 한 고리의 단면적을 라고 하면 이 단멱적을 통과하는 자기력 선속은 다음과 같이 표현할 수 있다.

따라서 솔레노이드의 자체인덕턴스 은 다음과 같이 표현할 수 있다.

즉, 솔레노이드의 자체인덕턴스는 단위 길이 당 감은 수의 제곱()에 비례하고 솔레노이드의 부피()에 비례하는 것을 알 수 있다.

● 긴 도선과 직사각형의 환형 도선 사이의 상호인덕턴스

위의 그림에서 왼쪽에 있는 도선은 매우 길어 이 회로의 나머지 부분은 직사각형의 환선에서 멀리 떨어져 있어 자속을 무시할 수 있다고 가정하자. 직사각형의 환선을 지나는 자속을 계산하기 위해 적분을 해야 한다. 직선 도선에서 만큼 떨어져 있는 직사각형 환형 도선 안의 미소한 면적 를 지나는 미소한 자속은 다음과 같이 표현할 수 있다.

따라서 총 자속은 에서 까지 적분하면 구할 수 있다.

이 긴 도선에 흐르는 전류 에 의해 직사각형 환선을 지나는 자속은 예상할 수 있듯이 전류 에 비례한다. 따라서 이 경우에 비례상수인 상호인덕턴스 은 다음과 같이 구할 수 있다.

[새길]

우리가 일상생활에서 힘이라는 용어는 많이 사용하고 있습니다. 하지만 물리에서 말하는 힘(force)에 대한 정의는 다음과 같습니다.

힘 : 물체의 모양이나 운동 상태를 변화시키는 원인

우리가 쉽게 생각할 수 있는 것이 모양의 변화입니다. 유리를 망치로 때리면(즉, 힘을 가하면) 유리가 산산조각이 납니다. 즉, 모양이 변하게 됩니다. 또, 용수철에 힘을 가하면 용수철이 늘어나거나 줄어들게 됩니다. 이런 힘에 의한 물체의 모양변화를 우리가 변형이라고 부릅니다. 변형의 정도는 가해진 힘이 셀수록 더 심해질 것입니다. 용수철의 경우에 탄성한계 내에서 가해지는 힘의 크기에 따라 늘어나는 길이가 증가하고, 이것을 이용하여 힘의 크기를 측정할 수 있습니다. 그것이 바로 용수철저울입니다.

다음은 용수철저울을 이용하여 50g의 추를 하나씩 증가시켜 4개까지 매달았을 때 용수철이 늘어난 것을 사진으로 각각 찍고 1장의 그림으로 합성을 시킨 모습입니다.

이 사진에서 추를 하나씩 추가하는 것은 용수철에 힘을 증가시키는 것을 의미합니다. 추 한 개의 질량이 50g이므로 추 한 개가 용수철저울에 주는 힘은 약 0.49N이 됩니다. 이 용수철저울에 추를 연속으로 걸어줄 때 거의 일정하게 늘어나는 것을 알 수 있습니다. 이 실험에서 사용한 용수철저울의 0점에서 200g으로 표시된 곳까지의 길이는 7.5cm였고, 제가 찍은 사진에서는 493픽셀로 나왔습니다. 원점에서 시작해서 추를 하나씩 증가시킬 때마다 증가한 길이를 픽셀단위로 측정한 결과는 다음과 같습니다.

이것을 추의 무게를 N으로 환산하고 늘어난 길이를 픽셀단위에서 cm단위로 환산을 하면 다음과 같은 값을 얻을 수 있습니다.

이것을 엑셀을 이용하여 그래프로 그리고 추세선을 그려보면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

추세선에서 볼 수 있듯이 값이 0.9999로 거의 1에 가깝기 때문에 이 실험 데이터로부터 추에 의해 용수철에 가해진 힘 와 용수철이 늘어난 길이 사이에는 다음과 같은 관계로 일반화시킬 수 있습니다.

이렇듯 용수철의 경우에 용수철에 가해진 힘은 늘어난 길이에 비례하는 것을 알 수 있습니다. 여기서 비례상수를 용수철 상수, 또는 탄성계수라고 하고, 이 실험에서 사용한 용수철저울의 경우에 용수철상수의 값이 0.2578N/cm가 되는 것을 알 수 있습니다.

이 관계를 일반화 시켜서 용수철을 변형시키는 힘은 다음과 같이 표시할 수 있습니다.

이렇게 용수철의 늘어난 길이가 용수철에 가해진 힘의 크기에 비례한다는 것을 훅의 법칙(Hooke’s Law)라고 합니다.

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어제 집에서 파란이와 함께 각운동량에 관한 실험을 했습니다. 영상을 먼저 보실까요?

우리 파란이가 500mL의 물이 담겨있는 물병 두 개를 들고 도자기 만들 때 쓰는 물레 위에 올라가 있습니다. 우선 손을 모으게 하고 물레를 돌려줍니다. 그리고 손을 벌리게 했습니다. 그러면 영상에서 볼 수 있듯이 회전속력이 줄어드는 것을 알 수 있습니다. 다시 손을 모으면 다시 회전속력이 빨라지는 것을 알 수 있습니다.

질량이 어떤 입자가 한 점을 중심으로 반지름이고, 속력 로 회전을 하고 있다고 가정해보겠습니다.

이 물체의 운동량은 가 되고, 이 물체의 각운동량은 다음과 같이 정의됩니다.

이 각운동량이 시간에 따라 변화된다고 가정하고 각운동량의 시간에 대한 변화율을 구하면 다음과 같이 표현됩니다.

여기서 와 는 같은 방향이므로 외적을 구하면 0이 되고, , 즉 힘이 되므로 각운동량의 시간에 대한 변화율은 다음과 같이 표현됩니다.

즉, 각운동량의 시간에 대한 변화율은 그 물체에 가해지는 돌림힘, 즉 토크(torque)라는 것을 알 수 있습니다.

이제 회전하고 있는 상황에서 돌림힘(torque)이 없으면 물체의 각운동량은 일정한 값을 가지게 됩니다.

처음의 회전반경과 회전속력을 , 라고 하고 회전반경이 변화시켜 가 되게 하면 나중의 속력 는 다음과 같이 결정할 수 있습니다.  (여기서,  과 는 서로 수직이므로 의 크기는 로 표현됩니다.)

파란이가 처음에는 손을 모으고 회전하고 있고 중간에 물병을 들고 있는 팔을 벌렸을 때 질량중심이 회전중심에서 멀어지고, 인 상황이 되므로 이 되어 속력이 줄어들게 됩니다. 다시 손을 모으게 되면 다시 속력이 증가하게 되지요. 회전하는 동안에는 어디에서도 돌림힘이 작용하고 있지 않기 때문에 각운동량은 보존되기 때문에 일어나는 현상입니다.

이러한 현상을 볼 수 있는 가장 좋은 예가 피겨스케이트에서의 회전입니다. 피켜스케이트선수들이 회전을 할 때 손을 벌리고 회전을 시작하고 나중에 손을 모았을 때 회전속력이 빨리지는 것을 알 수 있습니다.

파란이는 그냥 해보라고 했을 때 빠르기가 변하는 것을 보고 신기해했습니다. 간단하게 각운동량이 보존되기 때문에 일어나는 현상이라고만 설명을 해 주었지만 아직 초등학교 4학년이 이해하기는 좀 어렵지 싶네요.

각운동량에 관한 자세한 내용은 다음 위키 페이지를 확인해 보세요.

http://ko.wikipedia.org/wiki/각운동량

지금까지 [파란이와 해보는 실험] 각운동량 보존이었습니다.

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