새길이 찾아가는 작은 세상

네 번째 문제 시작하겠습니다.

이 문제는 역시 충돌의 문제이고 충돌할 때 충격량을 계산하고 물체의 속도가 어떻게 바뀌는지를 알아보는 문제입니다.

먼저 충격량에 대해서 알아보겠습니다.

● 충격량(impulse) : 충격량은 어떤 물체들끼리 짧은 시간 동안에 충돌할 때 서로에게 가해지는 충격의 크기를 나타낸 양입니다. 

아래 그림은 짧은 시간() 동안 충돌이 일어났을 경우 서로 작용하는 힘의 크기를 나타낸 그래프입니다.

이 그래프에서 충격량은 다음과 같이 정의합니다.

충격량의 크기는 F-t그래프에서 그래프가 그리는 곡선의 면적과 같은 의미를 가지고 있습니다. 힘이 운동량의 시간에 따른 변화율이므로 충격량은 다시 이렇게 해석할 수 도 있습니다.

즉, 충격량은 총돌하는 동안의 운동량의 변화량과 같다는 것을 알 수 있습니다.

● 시간 평균힘

다시 충돌할 때의 힘과 시간 사이의 그래프를 보겠습니다. 그래프에서 면적을 계산하여 충격량을 계산하는 것은 어렵습니다. 그래서 나온 개념이 시간 평균 힘입니다.

시간 평균힘은 다음과 같이 정의합니다.

시간평균힘 는 짧은 시간 동안에 같은 충격량을 준다고 가정한 일정한 힘입니다. 위의 그림에 를 표시해 놓았습니다. 그래프에서 빗금친 면적이 원래 그래프의 면적과 같게 되는 것입니다.

이제 문제를 풀어보도록 하겠습니다.

문제의 그림을 보면 정지해 있는 질량이 1kg인 물체 B에 질량이 2kg인 물체 A가 0.01초 동안 충돌하고 있고 A물체의 운동량의 변화가 나타나 있습니다. A의 운동량 변화를 보면 2kg m/s만큼의 변화가 일어났고, 이 변화량은 그대로 물체 B에 전달되어 물체 B도 움직일 것입니다.

충격량은 물체의 운동량의 변화율이라고 했으므로 충격량은 2kg m/s = 2Ns가 되겠네요.

그럼 시간평균힘은 얼마나 될까요? 시간평균힘은 충격량을 충돌하는 시간으로 나눠주면 되므로 다음과 같이 계산할 수 있겠네요.

충돌 후의 물체의 속력을 알아보겠습니다.

물체 A의 경우에 운동량이 2 kg m/s가 되었으므로 A의 운동량은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

따라서 물체 A의 속력은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

물체 B는 A로부터 2kg m/s만큼의 운동량을 받았으므로 마찬가지 방법으로 속력을 계산할 수 있습니다.

따라서 물체 B의 속력은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

보기를 한번 보겠습니다.

ㄱ. 충돌하는 동안 A가 B로부터 받은 충격량의 크기는 2Ns이다.

앞에서 설명을 했듯이 운동량의 변화율이 충격량의 크기이므로 옳은 표현입니다.

ㄴ. 충돌하는 동안 B가 A로부터 받은 평균 힘의 크기는 200N이다.

평균 힘은 앞에서 계산했습니다. 200N이 맞습니다.

ㄷ. 충돌 후 속력은 B가 A의 2배이다.

앞에서 계산했듯이 A의 속력은 1m/s가 되고 B의 속력은 2m/s가 되므로 B의 속력이 A의 속력의 2배가 되므로 옳은 표현입니다.

따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ이 모두 옳은 표현이므로 이 문제의 정답은 ⑤번 입니다.

이 문제에서 꼭 기억해야 할것은 바로 이것입니다.

충격량은 총돌하는 동안의 운동량의 변화량

그리고 운동량에 관한 내용은 아래 글을 참고해 주시기 바랍니다.

2012/10/03 - [과학이야기/물리] - [2013학년도 9월 수능 모의고사] 물리I 문제 풀이-03

[새길]

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이제 2번 문제를 한번 풀어 보겠습니다.

이 문제는 마찰력과 작용-반작용에 관한 문제입니다.

먼저 개념 정리를 먼저 해보겠습니다.

●작용-반작용의 법칙 : 뉴턴의 운동법칙 중 3번째 법칙으로 힘은 항상 쌍으로 나타난다는 힘의 중요한 성질을 표현한 것입니다. A라는 물체가 물체가 다른 물체 없이 혼자만 힘을 작용하고 있지 않다는 것입니다. 힘(force)이라는 것의 정의를 해 본다면 '물체의 운동이나 모양 상태를 변화시키는 원인'이라고 할 수 있습니다. 힘이 작용할 때는 어떤 물체의 운동이나 모양상태가 변해야만 힘이 의미가 있다는 것이지요. 따라서 힘이 작용할 때는 힘을 주는 주체와 힘을 받는 주체가 반드시 존재해야만 합니다.

그런데 여기서 A라는 물체가  B라는 물체에 힘을 가하게 되면 그 힘과 똑같은 크기의 힘이 반대방향으로 작용한다는 것이 작용-반작용의 법칙입니다. 어느 한쪽의 힘을 작용(action)이라고 하면 반대편에서 작용하는 것을 반작용(reaction)이라고 합니다. 어느 쪽을 작용이라고 하고 어느쪽을 반작용이라고 하는 것은 중요하지 않습니다. 중요한 점은 힘은 항상 작용, 반작용의 쌍으로 일어나며, 반작용은 작용과 크기가 같고 방향이 반대라는 점입니다.

여기서 힘의 평형(equilibrium of force)이라는 개념을 꼭 설명해야할 것 같습니다. 한 물체에 두개의 힘이 작용할 때 두 힘이 서로 크기가 같고 방향이 반대가 되면 힘이 평형을 이룬다는 개념입니다. 여기서도 힘의 크기가 같고 방향이 반대라는 개념이 나옵니다. 그럼 힘의 평형과 작용-반작용은 어떤 차이가 있을까요? 힘의 평형은 한 물체에 작용하는 두 힘이고, 작용-반작용은 서로 다른 두 물체에 서로 작용하는 힘이라는 것입니다. 쉽게 두 물체사이에 작용하는 힘은 작용-반작용으로, 한 물체에 작용하는 두 힘은 힘의 평형으로 해석하면 됩니다. 이것만 구분할 수 있어도 물체의 운동을 해석하는데 큰 도움이 될 수 있습니다.

● 마찰력 : 마찰력은 한 물체가 운동하려고 할 때 접촉하고 있는 다른 물체에 의해 운동을 방해하는 힘입니다. 접촉해 있는 거의 모든 경우에 마찰력이 작용한다고 생각하면 쉽겠네요. 

아래 그림과 같이 평면에 놓여있는 물체에 힘이 작용하고 있다고 생각해보면 반드시 그 물체가 운동하는 것을 방해하기 위해  마찰력이 작용합니다. 

이 물체에 작용하는 힘이 1N일 때 물체가 움직이지 않았다고 하면 마찰력의 크기는 얼마일까요? 당연히 1N입니다. 움직이지 않았다는 이야기는 운동상태가 변하지 않은 것이니 물체에 작용하는 외력과 마찰력이 평형을 이루고 있는 것입니다. 그럼 2N의 힘이 작용했는데도 움직이지 않았다면 마찰력은 얼마일까요? 역시 2N입니다. 따라서 물체가 움직이지 않을 때는 외부에서 가해지는 힘의 크기(외력의 크기)와 마찰력의 크기는 항상 같습니다. 이것을 그림으로 표현한 것이 아래 그래프입니다. 정지마찰력은 항상 외력의 크기와 같습니다. 그럼 운동할 때는 어떨까요?

운동하고 있을 때도 마찰력은 항상 작용합니다. 그런데 마찰력이 정지했던 것을 움직이기 시작할 때까지 작용했던 최대 정지 마찰력보다는 작습니다. 그리고 그 마찰력의 크기는 마찰면이 일정하다면 거의 일정한 값을 가질 것입니다. 

그럼 마찰력의 크기는 어떻게 결정될까요? 위의 수평면에 놓여 있는 물체의 경우에 물체가 평면을 누르는 힘(중력)이 작용하고 있습니다. 역시 평면도 물체에 힘을 작용하고 있지요. 평면이 물체에 수직으로 작용하는 힘을 수직항력(normal force)라고 합니다. 수직항력이 클수록 마찰력이 커집니다. 즉 마찰력은 수직항력에 비례합니다. 따라서 마찰력은 다음과 같이 표시할 수 있습니다.

여기서 비례상수 를 마찰계수(coefficient of friction)라고 합니다.

여기서 또 하나 생각해 볼 것은 수직항력과 물체가 평면에 가하는 힘(중력과 크기가 같음)은 서로 다른 물체(물체와 평면)사이에서 작용하는 작용-반작용입니다. 그리고 물체에 작용하는 힘을 보면 아래로 작용하는 힘인 중력과 위로 작용하는 힘은 힘의 평형을 이루고 있어 위쪽으로는 물체가 움직이지 않는 것입니다.

그럼 다음과 같은 경우를 볼까요? 두 경우중 어느 경우의 마찰력이 더 클까요? 

그림의 모눈의 한 칸이 1N의 힘을 나타낸다고 해 보겠습니다. 위의 그림에서는 오른쪽으로 4N의 힘이 작용하고 있습니다. 그리고 아래 그림에서는 약간 각도를 가지고 힘을 작용하고 있는데 이 힘을 분해해 보면 오른쪽으로 4N, 위쪽으로 2N의 힘이 작용하고 있습니다. 

위쪽 그림에서는 수직항력의 크기가 중력과 같이 때문에 마찰력의 크기는 다음과 같습니다.

아래 그림은 따로 분석을 해보겠습니다.

우선 수직방향으로는 물체가 움직이지 않기 때문에 수직방향으로는 힘이 평형을 이루고 있습니다. 이 물체에 수직방향으로 작용하는 힘은 모두 3개로 중력, 수직항력, 그리고 힘의 수직성분힘입니다. 따라서 이 힘을 모두 합하면 힘의 크기가 0이 됩니다. 따라서 다음과 같은 식이 성립합니다.

따라서 수직항력의 크기는 다음과 같이 계산됩니다.

따라서 마찰력의 크기는 다음과 같이 쓸 수 있겠네요.

이 결과를 보면 수평으로 작용할 때보다 수직항력이 줄어들어 마찰력이 줄어 드는 것을 알 수 있습니다. 

이제 문제로 들어가 보겠습니다. 보기에서 옳은 것을 찾아보겠습니다.

ㄱ. 철수가 책장을 미는 힘과 책장이 철수를 미는 힘을 작용과 반작용의 관계이다.

앞에서 설명을 했듯이 작용-반작용은 힘을 작용하는 두 물체 사이에 나타나는 것입니다. 철수가 책장에 힘을 가했으니 그 반작용으로 책장도 철수에게 힘의 크기는 같고 방향이 반대인 힘을 작용하겠네요. 따라서 작용-반작용의 관계가 맞습니다.

ㄴ. 수평면이 책장에 작용하는 마찰력의 크기는 300N이다.

우선 100kg의 책장을 움직이기 위한 힘을 계산해 볼까요. 문제속의 '정지마찰계수'는 아마도 '최대정지마찰계수'일 것 같습니다. 최대정지마찰계수는 최대마찰력이 작용할 때의 마찰계수입니다. 따라서 최대정지마찰력을 계산해보면 다음과 같습니다.

즉, 최소한 600N의 힘이 작용해야 책장이 움직일 수 있겠네요. 그런데 철수는 300N의 힘을 작용하고 있으니 움직일까요? 분명 움직일 수 없을 것입니다. 즉 계속 정지해 있다고 봐야겠지요. 정지해 있다면 물체의 마찰력은 얼마일까요? 정지해 있을 때의 마찰력의 크기는 외력의 크기와 같다는 사실을 기억하고 있다면 마찰력은 300N이 됩니다. 따라서 ㄴ은 옳은 표현입니다.

ㄷ. 수평면이 책장에 작용하는 마찰력의 방향과 수평면이 철수에 작용하는 마찰력의 방향은 같다.

먼저 철수의 의도를 생각해 보겠습니다. 철수는 그림에서 오른쪽으로 이동시키려고 합니다. 그런데 움직이지 못하고 있습니다. 철수가 미는 힘에 의해 책장이 300N의 힘으로 수평면에 오른쪽으로 힘(작용)을 주고 있습니다. 그러면 수평면은 그에 대한 반작용으로 왼쪽으로 그 힘과 크기가 같은 힘을 주고 있겠네요. 즉 마찰력의 방향은 오른쪽입니다.

그리고 그림에서 철수는 수평면을 자기의 뒤쪽, 즉 그림에서 왼쪽으로 힘(작용)을 주고 있습니다. 그러면 수평면이 철수에게 가하고 있는 힘(반작용)은 오른쪽으로 작용하고 있습니다. 

서로 방향이 반대이므로 ㄷ은 옳지 않은 표현이 되겠네요.

전체적으로 보면 ㄱ, ㄴ이 옳은 표현이므로 정답은 ④번이 되겠네요.

지금까지 작용-반작용, 마찰력에 관한 내용을 정리해 보고 문제를 풀어 봤습니다. 작용-반작용과 힘의 평형을 구분하는 것과 수직항력을 구하여 마찰력을 계산하는 것을 잘 연습하시기 바랍니다.

글을 쓰다보니 문제 하나 푸는 데 꽤 많은 내용이 되네요. 시간이 꽤 걸리는군요. 하루에 하나씩 정도만 정리해야 할 것 같습니다. 오늘 두 문제를 하려고 하니 쉽지 않네요. 내일 또 하나 풀어 보도록 하겠습니다. 그리고 혹시라도 제가 잘못 표현한 것이 있으면 언제든지 댓글 남겨 주세요. 제가 잘 못 표현한 것에 대해서는 언제든지 고칠 준비가 되어 있으니까요...^_^

[새길]

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저는 물리를 전공한 과학교사입니다. 그런데 지금껏 중학교에서만 있다보니 물리에 대한 감각이 점점 없어지는 것 같아 조금은 불안한 마음이 늘 있었습니다. 그래서 중간에 파란 블로그에서 물리강좌를 시도했었는데 제가 게을러서 잘 진행이 되지 않았습니다. 원고를 준비하는 것이 생각처럼 쉬운게 아니잖아요. 이제는 더이상 늦출 수 없다는 생각이 들어서 감각이 더 없어지기 전에 물리에 대한 감각을 올려보려고 수능 물리 시험문제들을 하루에 하나씩 풀어보려고 합니다.

고등학생들 중에서 물리를 선택한 학생들에게 고맙다는 말을 먼저 하고 이 글들이 조금이나마 도움이 되었으면 합니다.

먼저 지난 9월에 시행된 수능 모의고사 물리 I 문제들부터 시작하겠습니다.

문제 출처 : 한국교육과정 평가원 (http://www.kice.re.kr)

이 문제를 풀기 위해 필요한 기본 개념부터 알아 보겠습니다.

● 이동거리(distance) : 우리가 쉽게 이해할 수 있는 개념이지요. 실제로 이동한 거리를 나타내고 방향을 따지지는 않습니다. 방향이 없는 물리량을 스칼라(scalar)량이라고 합니다. 이동거리는 스칼라량입니다.

● 변위(displacement) : 물체가 이동할 때 중간에 어떻게 움직였든 처음과 나중만을 생각하고 이동한 직선거리와 방향을 이야기 합니다. 반드시 방향이 있어야만 합니다. 방향을 가지는 물리량을 벡터(vector)량이라고 합니다.

● 속력(speed) : 물체가 얼마나 빠르게 움직였는지를 나타내는 개념입니다. 물체의 빠르기를 측정하는 방법은 두 가지가 있습니다. 일정한 시간 동안에 얼마나 멀리 갔는지를 측정하는 방법과 일정한 거리를 놓고 얼마만큼의 시간 동안 이동했는지를 측정하는 방법이 있습니다. 물체가 빠를 경우 일정한 시간 동안에 멀리 가면 되고(즉, 빠르기는 이동거리에 비례), 일정한 거리를 갈 경우에는 시간이 짧으면 됩니다(즉, 빠르기는 시간에 반비례). 그래서 속력은 다음과 같이 정의합니다.

● 속도(velocity) : 우리가 속력과 많이 혼용해서 사용하는 용어입니다. 하지만 물리에서는 속력과 속도를 엄격하게 구분해서 설명합니다. 속도는 물체의 빠르기를 나타내는 물리량이지만 이동 거리 대신에 변위를 사용합니다. 즉 방향을 고려한 물체의 빠르기입니다. 똑같이 1m/s의 속력으로 움직인다고 해도 동쪽으로 움직이는 것과 서쪽으로 움직이는 것은 엄연히 다른  운동이니까요. 속도는 다음과 같이 정의를 내립니다.

이제 문제를 한번 볼까요?

문제의 그래프는 위치-시간 그래프입니다. 처음에 출발할 때 기준에서 4m인 위치에 있다가 1초일 때 3m인 위치, 2초일 때는 1m인 위치에 있습니다. 즉 이 물체는 처음에 뒤로 이동했다는 의미이지요. 다시 3초일 때는 3m인 위치에 있고 4초 일 때는 처음 위치인 4m인 위치에 있네요. 즉, 앞으로 이동했다는 것을 알 수 있습니다. 그리고 6초 까지 계속 같은 위치에 있었습니다. 그럼 [보기]에서 올은 것을 찾아 볼까요?

ㄱ. 0초에서 6초까지 변위는 0이다.  : 여기서 변위라는 개념이 나왔네요. 위에서 설명했듯이 변위는 처음과 나중만 생각합니다. 처음에 4m인 위치에 있었고, 나중(6초)일 때도 역시 4m인 위치에 있네요. 중간에 어떻게 움직였는지는 중요하지 않지요. 처음과 나중 위치가 변하지 않았으니 변위는 0입니다. 따라서 보기의 ㄱ은 옳는 표현입니다.

ㄴ. 2초부터 4초까지의 평균속력은 1m/s이다. : 여기서는 평균속력이라는 개념이 나왔네요. 평균속력은 일정한 시간 동안 빠르기가 어떻게 변했든지 무조건 이동거리를 이동시간으로 나눠주면 됩니다. 2초일 때의 위치가 1m인 위치이고 4초일 때의 위치가 4m이므로 총 3m를 이동했네요. 이때 이동시간은 2초입니다. 따라서 평균속력은 다음과 같이 계산할 수 있겠네요.

따라서 보기의 ㄴ은 옳지 않은 표현입니다.

(다음 수식 편집기에서는 TeX의 \rm{}명령이 들지 않네요. 항상 단위는 이탤릭체가 아니라 로만체로 써야 합니다. 수정이 되었으면 좋겠네요. 아래아 한글이나 TeX에서 수식 편집할 때 꼭 기억해 두세요.)

ㄷ. 1초일 때와 3초일 때의 운동 방향은 같다. : 위에서 설명을 했듯이 1초일 때는 뒤로 움직이고 있었고, 3초일 때는 앞으로 움직이고 있었으니 이 표현을 옳지 않은 표현이 되겠네요. 여기서 하나 더 이야기 하자면 위치-시간 그래프에서 어느 한 점에서 접선을 그리고 그 기울기를 구하면 그 시간에서의 순간 속도를 구할 수 있습니다. 1초일 때의 접선의 기울기는 (-)를 가지고 있으므로 뒤로 움직이는 것이고, 3초일 때의 접선의 기울기는 (+)를 가지므로 앞으로 움직이고 있는 것입니다.

따라서 전체 [보기]에서 옳는 것은 ㄱ 하나 뿐이므로 정답은 ①번입니다.

말로 하면 금방 끝날 내용도 글로 옮겨 적으려니 힘드네요. 시간이 꽤 걸리는 군요. 이 문제는 항상 나오는 문제이니 꼭 맞춰야 하는 문제입니다. 항상 연습 많이 하시기 바랍니다.

[새길]

[2012.10.09 - 동영상 풀이 추가합니다.]