새길이 찾아가는 작은 세상

보어의 원자모형

위 사진은 수소 방전관에서 나타나는 수소의 가시광선 영역의 스펙트럼이다. 이 스펙트럼을 분광분석기로 측정했을 때 데이터는 다음 그림과 같다.

가시광선 영역에서 파장이 큰 순서대로 표시해 보면 다음과 같다.

656.28nm, 486.1nm, 434.0nm, 410.2nm

1884년에 스위스의 교사인 Johann Balmer는 수소의 스펙트럼 내의 어떤 선의 파장이 다음과 같은 식으로 표현되는 것을 발견하였다.

  ()              (1)

위 식의 역수를 취하면 다음과 같이 표현된다.

여기서 이라고 하면 다음과 같이 정리할 수 있다.

                                 (2)

여기서 를 Rydberg상수라고 한다.

위의 식은 단순히 실험에 의해 나온 결과를 수식화 한 공식이다. 이 공식을 이론적으로 설명한 사람은 닐스 보어이다.

이제 닐스 보어의 생각에 따라 수소원자모형을 정리해 보도록 하자.

보어는 원자모형을 태양계에서 행성들이 운동하는 것과 같이 원자핵을 중심으로 전자들이 특정한 궤도만을 도는 모양을 구상하였다. 이전에 러더퍼드는 자신의 원자모형에서 전자들이 원자핵 주변을 회전할 것이라고 제안을 했다. 그러나 전자기학 이론에서는 전하가 가속을 하게 되면 가속되는 방향으로 복사선(빛)을 방출합니다. 따라서 전자가 궤도를 따라 돌 때는 가속이 되기 때문에 복사선을 방출해야 하고 전자는 결국 에너지를 잃어 원자핵과 충돌해야하는데 그런 현상은 일어나지 않는다는 문제가 있었다. 따라서 보어는 다음과 같은 가정을 했습니다.

가정 1 : 원자 속의 전자는 특정한 원궤도를 회전할 때에는 전자기파를 방출하지 않고 원운동을 한다.

                 (3)

가정 2 : 전자가 양자조건을 만족하는 원궤도 사이를 전이할 때 두 궤도의 에너지 차에 해당하는 에너지를 갖는 전자기파를 방출하거나 흡수한다.

                            (4)

조금은 과감한 가정이지요. 가정 1은 러더퍼드의 원자모형에서의 모순점을 해결하기 위한 가정이고, 가정 2는 수소선스펙트럼에서 특정한 파장의 빛만 나오는 것을 설명하기 위한 것이다.

좀 더 구체적으로 들어가 보자.

위의 그림과 같이 원자핵(전하량 )을 중심으로 전자(질량 , 전하량 )가 원운동을 하고 있다고 가정해 봅시다. 전자가 원운동을 하게 하는 힘은 전자기력(쿨롱힘)이고 이 힘이 전자를 원운동하게 하는 구심력으로 작용할 것이다. 따라서 다음과 같은 식이 성립합니다.

                                 (5)

이 식으로부터 속력은 다음과 같이 쓸 수 있다.

                                     (6)

전자가 가지는 에너지는 운동에너지와 양성자에 의해 형성되는 퍼텐셜에너지의 합으로 표현되므로 전체 에너지는 다음과 같이 표현할 수 있다.

                               (7)

위의 (7)식에 (6)식의 을 넣으면 전체 에너지는 다음과 같이 표현된다.

                                     (8)

가정 1에서 전자의 속도를 반지름 의 식으로 표현하면 다음과 같다.

                                      (9)

(7)식을 (4)식에 대입하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

                           (10)

                 (11)

(11)식에서 주목해 볼 것은 전자의 궤도 반지름이 자연수 에 의해 결정되는 것이다. 즉, 전자는 딱 정해진 궤도만을 돌고 있다는 것이다.

(11)식의 을 (8)식에 대입하면 전자가 가지는 에너지는 다음과 같이 표현된다.

                 (12)

여기에서 식(11)과 (12)에 다음의 값을 입력해보자.

● 전자의 질량 :

● 전자의 전하량 :

● 플랑크상수 :

● 쿨롱상수 :

그러면 다음과 같은 값을 얻을 수 있다.

                          (13)

                         (14)

(13)식의 의미를 먼저 파악해 보자. 수소원자에서 전자가 가지는 궤도는 양자수 에 의해 결정되어지고, 가 주어짐에 따라 특정 반지름을 가지고 띄엄 띄엄 떨어진 궤도를 회전한다는 것을 의미한다.

(14)식의 의미는 가 주어짐에 따라 전자가 가지는 에너지가 띄엄 띄엄 떨어진 값으로 주어지는 것을 의미한다. 이렇게 에너지가 띄엄 띄엄 떨어져 있는 상태를 에너지가 양자화 되었다라고 이야기 한다.

이제 궤도에서 궤도로() 전자가 전이되는 경우를 가정해 보자. 궤도의 에너지가 궤도의 에너지보다 높으므로 [가정 2]의 식 (4)에 의해 에너지 차이만큼에 해당하는 광자를 방출할 것이다. 따라서 이때 방출되는 광자의 에너지는 다음과 같이 쓸 수 있다.

따라서 방출하는 빛의 파장의 역수는 다음과 같이 표현할 수 있다.

  (15)

위의 (15)식과 발머가 찾아낸 식 (2)를 비교해 보면 인 경우와 일치한다. 즉 발머가 찾아낸 가시광선 영역에서의 빛은 보다 큰 m상태에서 n=2로 전자가 전이할 때 나오는 빛이라는 것을 알 수 있다. 이런 가시광선 영역의 선스펙트럼을 발머계열이라고 하며, n=1로 전자가 전이될 때 나오는 자외선 계열을 라이먼 계열, n=3으로 전이할 때 나오는 적외선 계열을 파셴 계열이라고 한다.

위의 그림에서 에너지의 단위는 eV(전자볼트)단위로 주어졌다. 을 이용하여 식 (14)를 표현하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

                 (16)

보어의 수소원자 모형은 수소에서 나오는 선스펙트럼의 파장을 정확하게 설명할 수 있었다. 그러나 보어의 모형으로 설명을 할 수 없었던 것 중의 하나는 위의 분광분석기로 측정한 결과에서 볼 수 있듯이 선스펙트럼의 세기가 왜 다르게 나오는지에 대한 것이다. 이것에 대한 것은 후에 다른 물리학자들에 의해 설명이 가능하게 되었다. 나중에 기회가 되면 수소에 대한 슈뢰딩거방정식을 정리해 보도록 하겠다. 꽤 긴 글이 될 것으로 예상되는데 언제가 될지 모르지만 약속은 미리 해 놓는 것으로 마무리를 해본다.

휴! 힘들다...

[새길]

Numerical Recipes – The Art of Scientific Computing

이름이 거창합니다.

수치 조리법 – 과학 계산의 예술

드디어 이 책이 내 손에 들어왔습니다. 지난 8월 15일에 주문했는데 오늘 도착했습니다. 아마도 비행기를 타고 날라왔겠네요.

이강환님('파토의 과학하고 앉아있네'네의 K박사님)이 쓴 ‘우주의 끝을 찾아서’에서 소개된 책입니다. 수학과 물리학에서 자료 처리에 필요한 거의 모든 알고리즘이 작성되어 있다고 해서 바로 알라딘에서 구입했습니다. 20만원이 넘게 들었습니다.

오늘 받아본 소감은? 비싼 값은 충분히 하겠다는 것이었습니다. 앞으로 데이터 분석할 때 유용하게 사용할 수 있을 것 같습니다.

앞으로 수치 계산할 때 한번 이용해 보려고 합니다. 어떤 결과가 나올지 궁금하네요. 사용해보고 그 결과를 소개해 드리도록 하겠습니다.

[새길]