[2013학년도 9월 수능 모의고사] 물리I 문제 풀이-03

3번 문제입니다. 이 문제는 충돌에 대한 문제로 운동량 보존의 법칙으로 해결할 수 있습니다.

자 한번 풀어보도록 하겠습니다. 해설에서는 미분을 이용한 표현을 사용하겠습니다.

이 문제를 풀기 전에 몇 가지 정리를 하겠습니다.

● 운동량(momentum) : 운동량은 물체의 운동 변화정도를 나타내는 양입니다. 뉴턴의 운동법칙(뉴턴의 제2법칙)을 우리는 다음과 같은 식으로 잘 알고 있습니다.

이 식에서 물체의 가속도는 물체에 가해지는 힘에 비례하고 물체의 질량에 반비례한다는 것입니다. 그러나 뉴턴이 제2법칙에 대해서 이야기 한 것은 질량과 가속도에 관한 것이 아니었습니다. 뉴턴이 언급한 내용은 물체의 운동의 변화를 이야기 하고 있습니다. 오늘날 뉴턴이 말한 운동이라고 말한 것을 운동량(momentum)이라고 합니다. 한 입자의 운동량을 그 입자의 질량과 속도의 곱으로 정의하고 있습니다.

시간에 따른 이 운동량의 변화를 힘이라고 합니다. 즉 힘은 운동을 변화시킨다는 것이지요. 여기서 시간에 대한 미분을 써서 표현해보면 뉴턴의 운동 법칙을 다음과 같이 표현되는 것을 알 수 있습니다.

여기서 물체의 질량이 시간에 따라 변하지 않으면 이 되므로 힘은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

요즘 고등학교 물리에서 상대성 이론이 나온다고 하니 상대론적으로 정의하는 운동량에 대해서도 이야기를 좀 해보겠습니다. 아인슈타인의 특수상대성이론에 의하면 물체의 질량이 속도에 따라 변한다. 정지해 있을 때의 질량을 라고 하면 속도에 따라 변하는 질량은 다음과 같이 표현된다.

따라서 운동량은 다음과 같이 표현되는 것을 알 수 있습니다.

여기서 는 진공 속에서의 광속도 입니다. 물체의 속력이 빛의 속력보다 매우 작을 때는 상대론적인 표현이나 고전적인 표현이나 같게 됩니다. 이것은 나중에 따로 정리하도록 하겠습니다.

● 운동량 보존의 법칙(law of conservation of momentum) : 앞에서 힘이라고 하는 것은 혼자서는 아무런 의미가 없고 물체들 사이에 작용과 반작용으로 나타난다는 이야기를 했습니다.

2012/10/02 - [과학이야기/물리] - [2013학년도 9월 수능 모의고사] 물리I 문제 풀이-02

주위에 고립되어 있는(외부에서 다른 힘이 작용하지 않는 경우) 물체들이 있고, 그 물체들 사이에는 서로가 미치는 힘뿐인 경우 뉴턴의 제3법칙(작용-반작용의 법칙)으로부터 중요한 결론을 하나 얻을 수 있습니다. 

여기서 두 물체 1과 2가 있다고 가정하고 그 둘 사이에만 힘이 작용한다고 가정해 보겠습니다. 작용-반작용의 법칙으로부터 물체 1이 물체 2에 작용하고 있는 힘은 물체 2가 물체 1에 작용하는 힘과 크기가 같고 방향이 반대입니다. 을 물체 1에 작용하는 힘이라고 하고, 을 물체 1의 운동량이라고 해 봅시다. 그러면 이 물체 1에 대한 뉴턴의 제2법칙은 다음과 같이 표현될 것입니다.

마찬가지로  를 물체 2에 작용하는힘이라고 하고 를 물체 2의 운동량이라고 하면 물체 2에 대한 뉴턴의 제2법칙은 다음과 같이 표현될 것입니다.

그런데 작용-반작용의 법칙에 의해이므로 다음과 같은 관계가 성립합니다.

 

 또는 

이 식이 의미하는 것을 보면 외부에서 힘이 작용하지 않고 고립된 계 안에서 물체들 사이에서만 힘이 작용할 때 시간에 따라 운동량의 합이 변화가 없다는 것을 의미합니다.

사실 뉴턴은 운동전후에 있어서의 두 물체 사이의 운동량을 연구함으로써 작용-반작용의 법칙에 도달한 것 같습니다. 두 물체가 충돌할 때 물체들은 접촉하고 있는 아주 짧은 시간 동안 매우 큰 힘을 서로 작용합니다. 그 물체에 또 다른 힘이 작용하고 있다고 하더라도(예를 들어 물체들 사이의 만유인력 등) 그 힘들은 일반적으로 총돌력에 비해 매우 작아 무시할 수 있습니다. 뉴턴시대 이전 사람들에 의해 면밀하게 측정한 실험으로부터 뉴턴은 어떤 종류의 충돌이 일어나든지 간에 충돌 전후에 있어서의 두 물체의 운동량의 합은 똑같다는 것을 알았을 것입니다. 충돌 전후에 운동량의 합이 같다는 것이 운동량 보존의 법칙입니다.

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이제 문제로 들어가 보도록 하겠습니다.

아래 그림을 보겠습니다. 질문의 내용은 물체 A의 질량이 얼마인가 하는 문제입니다. 물체 A, B, C가 외부에서 어떤 힘도 받지 않고 움직이다가 충돌하며 자기들끼리 힘을 주고 받고 한덩어리가 되어 오른쪽으로 함께 이동하는 모습입니다. 그렇다면 운동량 보존의 법칙이 성립합니다.

여기서 주의해야 하는 것은 운동량이 벡터량이라는 것입니다. 즉, 방향을 항상 고려해 주어야 합니다. 충돌 전에 물체 C가 왼쪽으로 이동하고 있다는 것에 주의해야 합니다. 여기서 구하려는 A의 질량을 M이라고 하고 오른쪽을 (+)방향으로 하겠습니다.

충돌전 운동량 계산

A의 운동량 : 

B의 운동량 : 

C의 운동량 : 

따라서 충돌 전의 총 운동량은 다음과 같습니다. 

충돌 후에는 모두가 합쳐져 오른쪽으로 v의 속력으로 이동하고 있으므로 충돌 후의 운동량은 다음과 같습니다. 

충돌 전후의 운동량이 같으므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

또는 

따라서 구하고자 하는 물체 A의 질량은 다음과 같습니다.

따라서 이 문제의 정답은 ②번입니다.

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이제야 다 끝났네요. 이 문제를 쉽게 풀려면 이것만 생각하세요.

처음 운동량 = 나중 운동량

주의할 것은 방향을 꼭 고려해야 한다는 사실...

[새길]

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