새길이 찾아가는 작은 세상

어떤 회로를 지나는 자기력 선속(자속, magnetic flux)는 그 회로의 전류와 가까이 있는 다른 회로의 전류에 의해 결정된다.

위의 회로에서 P점에서의 자속은 다음과 같이 표현할 수 있다.

P점에서의 자속 = 에 의한 자속 + 에 의한 자속

따라서 회로 2를 지나는 자속을 라고 하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

여기서 상수 를 회로 2의 자체 인덕턴스(self inductance)라고 하고, 이 값은 회로2의 기하학적 모양에 관계된다. 또 를 두 회로의 상호 인덕턴스(mutual inductance)라고 하며 두 회로의 기하학적인 모양에 관계된다. 특히 두 회로가 멀리 떨어져 있을 때 전류 에 의하여 만들어지는 회로 2를 지나는 자속은 작아지며 상호인덕턴스도 작아진다.

이와 유사하게 회로 1을 지나는 자속 은 다음과 같이 표현할 수 있다.

자체인덕턴스 은 회로 1의 기하학적인 모양에만 의존하고 상호인덕턴스 은 두 회로의 기하학적인 모양에 따른다. 명백하지는 않지만 일반적으로 이들 두 상호인덕턴스는 같다고 볼 수있다. 즉, 으로 쓸 수 있다.

회로들이 고정되어 있고 전류만 변화하면 회로에 유도된 기전력은 패러데이의 법칙에 의해 다음과 같이 쓸 수 있다.

인덕턴스의 SI단위는 헨리(henry, H)를 사용한다.

인덕턴스는 항상 자유공간에서의 투자율(permeability of free space) 와 어떤 특정 길이의 곱으로 나타낼 수 있다. 따라서 상수 의 단위는 H/m로 나타낼 수 있다.

원리적으로 자체인덕턴스와 상호인덕턴스는 어느 주어진 회로와 배치에 대해서는 간단히 계산된다. 예를 들어 을 계산하려면 어떤 전류 을 결정하고 회로에 둘러싸인 어떤 면 위의 각 점에서의 자기장을 비오-사바르(Biot-Savart)의 법칙으로부터 계산하면 된다. 이 자기장은 물론 전류 에 비례할 것이다. 따라서 이 면적에 걸쳐 적분하여 이 자기장의 자속을 계산하다. 는 에 비례하므로 자속도 에 비례할 것이다. 이때 비례상수 은 자체인덕턴스이다. 마찬가지로 회로 1에 흐르는 어떤 전류 을 결정하고, 회로 2에 둘러싸인 면 위의 각 점에서의 자기장을 계산한 다음, 이 자기장으로부터 그 회로를 지나는 자속을 계산하면 상호인덕턴스를 계산할 수 있다. 일반적으로 비오-사바르의 법칙으로부터 자기장을 계산하고 임의의 면에 걸쳐 이 자기장을 적분하는 것은 어렵기 때문에 몇 가지 간단한 기하학적 모양인 경우 이외에 자체인덕턴스 및 상호인덕턴스를 계산하는 것은 매우 어렵다. 따라서 근사적으로 계산할 수 있는 두 가지 예를 보도록 하자.

● 솔레노이드의 자체 인덕턴스

길이가 이고, 번 감은 솔레노이드에 전류 가 흐를 때 솔레노이드 내부의 자기장은 거의 균일하며 이 자기장의 세기는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서 은 단위길이 당 감은 횟수이다. 이 솔레노이드에서 한 고리의 단면적을 라고 하면 이 단멱적을 통과하는 자기력 선속은 다음과 같이 표현할 수 있다.

따라서 솔레노이드의 자체인덕턴스 은 다음과 같이 표현할 수 있다.

즉, 솔레노이드의 자체인덕턴스는 단위 길이 당 감은 수의 제곱()에 비례하고 솔레노이드의 부피()에 비례하는 것을 알 수 있다.

● 긴 도선과 직사각형의 환형 도선 사이의 상호인덕턴스

위의 그림에서 왼쪽에 있는 도선은 매우 길어 이 회로의 나머지 부분은 직사각형의 환선에서 멀리 떨어져 있어 자속을 무시할 수 있다고 가정하자. 직사각형의 환선을 지나는 자속을 계산하기 위해 적분을 해야 한다. 직선 도선에서 만큼 떨어져 있는 직사각형 환형 도선 안의 미소한 면적 를 지나는 미소한 자속은 다음과 같이 표현할 수 있다.

따라서 총 자속은 에서 까지 적분하면 구할 수 있다.

이 긴 도선에 흐르는 전류 에 의해 직사각형 환선을 지나는 자속은 예상할 수 있듯이 전류 에 비례한다. 따라서 이 경우에 비례상수인 상호인덕턴스 은 다음과 같이 구할 수 있다.

[새길]