케플러의 제3법칙은 어떻게 나왔을까?

과학이야기/물리학 2013. 12. 29. 16:09

케플러의 제3법칙은 다음과 같이 표현됩니다.


행성의 공전주기를 T, 행성의 공전 타원궤도의 긴 반지름을 R이라고 했을 때 T와 R사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.



즉, 공전주기의 제곱은 공전궤도 긴반지름의 세제곱에 비례한다.


케플러는 이 식을 어떻게 추정해 냈을까요? 아마도 이런 과정을 거쳐서 얻지 않았을까 싶습니다.


먼저 케플러는 티코프라헤가 관측한 행성에 대한 데이터들을 가지고 있었습니다. 공전궤도 긴반지름을 천문단위(AU)와 공전주기를 년단위로 표시해 보면 다음과 같습니다.


행성

R

T

수성

0.39

0.241

금성

0.72

0.616

지구

1.00

1.000

화성

1.52

1.880

목성

5.19

11.900

토성

9.53

29.400

천왕성

19.20

83.800

해왕성

30.00

164.000


이 데이터를 이용해서 R과 T사이의 관계 그래프를 그려보면 다음과 같습니다.




위의 그래프를 보면 T가 R에 대해 원점을 지나는 곡선 형태의 함수 형태로 나타나는 것을 알 수 있습니다. 이 곡선이 다음과 같은 식의 형태로 표현된다고 가정해 보겠습니다.



위 식의 양변에 상용로그를 취하면 다음과 같이 표현됩니다.




여기서 로 표시하면 다음과 같이 표시할 수 있습니다.



이 식은 기울기가 n이고 y절편이 log(a)인 직선의 방정식입니다.


위의 표에 있는 데이터를 이용하여 T와 R의 상용로그 값을 계산해 보면 다음과 같습니다.


행성

log(R)

log(T)

수성

-0.40894

-0.61798

금성

-0.14267

-0.21042

지구

0

0

화성

0.181844

0.274158

목성

0.715167

1.075547

토성

0.979093

1.468347

천왕성

1.283301

1.923244

해왕성

1.477121

2.214844


여기서 로 표시하고 이 데이터를 그래프로 그려보면 다음과 같습니다.



그래프에서 볼 수 있듯이 그래프가 원점을 지나고 기울기가 1.5인 직선이 나타나게 됩니다. 


따라서 , 즉, a = 1이 되고, 이 되는 것을 알 수 있습니다. 따라서 T와 R 사이에는 다음과 같은 식이 성립하는 것을 알 수 있습니다.



따라서 이라는 식을 얻을 수 있습니다. 여기서 비례상수가 1이 된 이유는 거리의 단위를 AU, 주기의 단위를 년으로 잡았기 때문입니다.


케플러가 행성 운동에 대한 법칙을 발견할 당시에 존 네이피어에의해 로그함수가 개발되어 있었고, 케플러는 로그를 넓은 범위에서 활용했던 것으로 알려져 있습니다. 


어떤 실험 결과가 지수함수의 형태로 표현될 때 위에서 사용한 방식대로 상용로그를 계산하면 우리가 쉽게 수식으로 표현할 수 있는 직선이 되고 실험결과를 수식과 비교해 볼 수 있답니다.


이 방법은 실험 데이터를 분석하는데 유용하게 쓸 수 있는 방법이므로 잊지 않고 사용할 수 있도록 연습해 두면 좋을 것 같습니다. 


[새길]


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