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케플러의 제3법칙은 어떻게 나왔을까?
케플러의 제3법칙은 다음과 같이 표현됩니다.
행성의 공전주기를 T, 행성의 공전 타원궤도의 긴 반지름을 R이라고 했을 때 T와 R사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.
즉, 공전주기의 제곱은 공전궤도 긴반지름의 세제곱에 비례한다.
케플러는 이 식을 어떻게 추정해 냈을까요? 아마도 이런 과정을 거쳐서 얻지 않았을까 싶습니다.
먼저 케플러는 티코프라헤가 관측한 행성에 대한 데이터들을 가지고 있었습니다. 공전궤도 긴반지름을 천문단위(AU)와 공전주기를 년단위로 표시해 보면 다음과 같습니다.
행성 |
R |
T |
수성 |
0.39 |
0.241 |
금성 |
0.72 |
0.616 |
지구 |
1.00 |
1.000 |
화성 |
1.52 |
1.880 |
목성 |
5.19 |
11.900 |
토성 |
9.53 |
29.400 |
천왕성 |
19.20 |
83.800 |
해왕성 |
30.00 |
164.000 |
이 데이터를 이용해서 R과 T사이의 관계 그래프를 그려보면 다음과 같습니다.
위의 그래프를 보면 T가 R에 대해 원점을 지나는 곡선 형태의 함수 형태로 나타나는 것을 알 수 있습니다. 이 곡선이 다음과 같은 식의 형태로 표현된다고 가정해 보겠습니다.
위 식의 양변에 상용로그를 취하면 다음과 같이 표현됩니다.
여기서 , 로 표시하면 다음과 같이 표시할 수 있습니다.
이 식은 기울기가 n이고 y절편이 log(a)인 직선의 방정식입니다.
위의 표에 있는 데이터를 이용하여 T와 R의 상용로그 값을 계산해 보면 다음과 같습니다.
행성 |
log(R) |
log(T) |
수성 |
-0.40894 |
-0.61798 |
금성 |
-0.14267 |
-0.21042 |
지구 |
0 |
0 |
화성 |
0.181844 |
0.274158 |
목성 |
0.715167 |
1.075547 |
토성 |
0.979093 |
1.468347 |
천왕성 |
1.283301 |
1.923244 |
해왕성 |
1.477121 |
2.214844 |
여기서 로 표시하고 이 데이터를 그래프로 그려보면 다음과 같습니다.
그래프에서 볼 수 있듯이 그래프가 원점을 지나고 기울기가 1.5인 직선이 나타나게 됩니다.
따라서 , 즉, a = 1이 되고, 이 되는 것을 알 수 있습니다. 따라서 T와 R 사이에는 다음과 같은 식이 성립하는 것을 알 수 있습니다.
따라서 이라는 식을 얻을 수 있습니다. 여기서 비례상수가 1이 된 이유는 거리의 단위를 AU, 주기의 단위를 년으로 잡았기 때문입니다.
케플러가 행성 운동에 대한 법칙을 발견할 당시에 존 네이피어에의해 로그함수가 개발되어 있었고, 케플러는 로그를 넓은 범위에서 활용했던 것으로 알려져 있습니다.
어떤 실험 결과가 지수함수의 형태로 표현될 때 위에서 사용한 방식대로 상용로그를 계산하면 우리가 쉽게 수식으로 표현할 수 있는 직선이 되고 실험결과를 수식과 비교해 볼 수 있답니다.
이 방법은 실험 데이터를 분석하는데 유용하게 쓸 수 있는 방법이므로 잊지 않고 사용할 수 있도록 연습해 두면 좋을 것 같습니다.
[새길]
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