새길이 찾아가는 작은 세상

앞에서 시뮬레이션 과정에서 분자들 끼리의 충돌 문제는 고려하지 않고 시뮬레이션을 했는데 충돌이 일어날 경우까지 고려하기 위해 2차원 충돌이 일어난 후의 물체의 속력을 계산해 보았습니다. 

1차원 충돌의 경우에 비교적 간단하게(?) 식을 유도해 낼 수 있지만 2차원 충돌의 경우에는 조금은 복잡한 과정을 거쳐야 물체의 속력을 계산해 낼 수 있습니다. 어제 구글링을 해보니 자세한 유도과정이 나오지 않아서 직접 계산과정을 해보고 여기에 정리차원에서 올려놓습니다.

운동량 보존의 법칙에 의해 다음과 같은 식이 성립합니다.

                  ---(1)

(1)식의 각 물체의 속도를 x축과 y축 방향의 단위벡터를 이용하여 표시하면 다음과 같습니다.

                ---(2)

                ---(3)

            ---(4)

            ---(5)

따라서 운동량 보존법칙의 (2)에서 (5)식까지를 (1)식에 대입하고 x축 방향과 y축 방향의 속도성분만 뽑아내면 다음과 같습니다.

x축 방향 성분

      ---(6)

y축 방향 성분

       ---(7)

총돌이 일어날 때 충돌하는 축(여기서는 x축 방향)에서 힘이 가해지기 때문에 그 축 방향으로 두 물체 사이의 상대속도가 변하게 됩니다. 반발계수 는 충돌 축에 대한(여기서는 x축) 충돌 전 후의 상대속도의 비로 정의가 되므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

                                       ---(8)

(8)식에 (2)에서 (5)까지의 속도를 입력하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.

               ---(9)

그리고 충돌 축의 수직방향쪽(여기서는 y축 방향)으로는 서로 힘이 가해지지 안기 때문에 상대속도의 변화가 없습니다. 따라서 다음과 같은 식이 성립합니다.

                                                                ---(10)

                                                               ---(11)

(10), (11)식에 (2)에서 (5)까지의 속도식을 넣어 계산하면 다음과 같은 두 식을 얻을 수 있습니다.

                                                         ---(12)

                                                         ---(13)

(9)식의 양변에 를 곱한 식과 (6)식의 좌변과 우변의 위치를 바꾼 후, 좌변은 좌변끼리, 우변은 우변끼리 서로 더해주면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.

        ---(14)

(6)식에서 좌변과 우변의 위치를 바꾼 후 (9)식의 양변에 을 곱한 식을 좌변은 좌변끼리, 우변은 우변끼리 빼주면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.

       ---(15)

따라서 (14), (15)식과 (12), (13)식을 이용하면 두 물체의 나중 속도는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

       ---(16)

       ---(17)

최종 결론식은 (16)번과 (17)번 식입니다. 이 식을 이용하여 몇 몇 특별한 경우를 계산해 보시면 식이 맞는지 확인하실 수 있을 것입니다.

그냥 손으로 쓰면 쉽게 할 수 있는 것도 일일이 TeX명령어로 수식을 넣으려니 쉽지가 않네요. 참고로 아래는 제가 계산한 과정을 최종 정리한 것을 스캔해서 첨부합니다. 이 자료가 많은 분들께 도움이 되었으면 좋겠습니다.

[새길]

 또는 

이 식이 의미하는 것을 보면 외부에서 힘이 작용하지 않고 고립된 계 안에서 물체들 사이에서만 힘이 작용할 때 시간에 따라 운동량의 합이 변화가 없다는 것을 의미합니다.

사실 뉴턴은 운동전후에 있어서의 두 물체 사이의 운동량을 연구함으로써 작용-반작용의 법칙에 도달한 것 같습니다. 두 물체가 충돌할 때 물체들은 접촉하고 있는 아주 짧은 시간 동안 매우 큰 힘을 서로 작용합니다. 그 물체에 또 다른 힘이 작용하고 있다고 하더라도(예를 들어 물체들 사이의 만유인력 등) 그 힘들은 일반적으로 총돌력에 비해 매우 작아 무시할 수 있습니다. 뉴턴시대 이전 사람들에 의해 면밀하게 측정한 실험으로부터 뉴턴은 어떤 종류의 충돌이 일어나든지 간에 충돌 전후에 있어서의 두 물체의 운동량의 합은 똑같다는 것을 알았을 것입니다. 충돌 전후에 운동량의 합이 같다는 것이 운동량 보존의 법칙입니다.

이제 문제로 들어가 보도록 하겠습니다.

아래 그림을 보겠습니다. 질문의 내용은 물체 A의 질량이 얼마인가 하는 문제입니다. 물체 A, B, C가 외부에서 어떤 힘도 받지 않고 움직이다가 충돌하며 자기들끼리 힘을 주고 받고 한덩어리가 되어 오른쪽으로 함께 이동하는 모습입니다. 그렇다면 운동량 보존의 법칙이 성립합니다.

여기서 주의해야 하는 것은 운동량이 벡터량이라는 것입니다. 즉, 방향을 항상 고려해 주어야 합니다. 충돌 전에 물체 C가 왼쪽으로 이동하고 있다는 것에 주의해야 합니다. 여기서 구하려는 A의 질량을 M이라고 하고 오른쪽을 (+)방향으로 하겠습니다.

충돌전 운동량 계산

A의 운동량 : 

B의 운동량 : 

C의 운동량 : 

따라서 충돌 전의 총 운동량은 다음과 같습니다. 

충돌 후에는 모두가 합쳐져 오른쪽으로 v의 속력으로 이동하고 있으므로 충돌 후의 운동량은 다음과 같습니다. 

충돌 전후의 운동량이 같으므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

또는 

따라서 구하고자 하는 물체 A의 질량은 다음과 같습니다.

따라서 이 문제의 정답은 ②번입니다.

이제야 다 끝났네요. 이 문제를 쉽게 풀려면 이것만 생각하세요.

처음 운동량 = 나중 운동량

주의할 것은 방향을 꼭 고려해야 한다는 사실...

[새길]

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