새길이 찾아가는 작은 세상

앞에서 시뮬레이션 과정에서 분자들 끼리의 충돌 문제는 고려하지 않고 시뮬레이션을 했는데 충돌이 일어날 경우까지 고려하기 위해 2차원 충돌이 일어난 후의 물체의 속력을 계산해 보았습니다. 

1차원 충돌의 경우에 비교적 간단하게(?) 식을 유도해 낼 수 있지만 2차원 충돌의 경우에는 조금은 복잡한 과정을 거쳐야 물체의 속력을 계산해 낼 수 있습니다. 어제 구글링을 해보니 자세한 유도과정이 나오지 않아서 직접 계산과정을 해보고 여기에 정리차원에서 올려놓습니다.

운동량 보존의 법칙에 의해 다음과 같은 식이 성립합니다.

                  ---(1)

(1)식의 각 물체의 속도를 x축과 y축 방향의 단위벡터를 이용하여 표시하면 다음과 같습니다.

                ---(2)

                ---(3)

            ---(4)

            ---(5)

따라서 운동량 보존법칙의 (2)에서 (5)식까지를 (1)식에 대입하고 x축 방향과 y축 방향의 속도성분만 뽑아내면 다음과 같습니다.

x축 방향 성분

      ---(6)

y축 방향 성분

       ---(7)

총돌이 일어날 때 충돌하는 축(여기서는 x축 방향)에서 힘이 가해지기 때문에 그 축 방향으로 두 물체 사이의 상대속도가 변하게 됩니다. 반발계수 는 충돌 축에 대한(여기서는 x축) 충돌 전 후의 상대속도의 비로 정의가 되므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

                                       ---(8)

(8)식에 (2)에서 (5)까지의 속도를 입력하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.

               ---(9)

그리고 충돌 축의 수직방향쪽(여기서는 y축 방향)으로는 서로 힘이 가해지지 안기 때문에 상대속도의 변화가 없습니다. 따라서 다음과 같은 식이 성립합니다.

                                                                ---(10)

                                                               ---(11)

(10), (11)식에 (2)에서 (5)까지의 속도식을 넣어 계산하면 다음과 같은 두 식을 얻을 수 있습니다.

                                                         ---(12)

                                                         ---(13)

(9)식의 양변에 를 곱한 식과 (6)식의 좌변과 우변의 위치를 바꾼 후, 좌변은 좌변끼리, 우변은 우변끼리 서로 더해주면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.

        ---(14)

(6)식에서 좌변과 우변의 위치를 바꾼 후 (9)식의 양변에 을 곱한 식을 좌변은 좌변끼리, 우변은 우변끼리 빼주면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.

       ---(15)

따라서 (14), (15)식과 (12), (13)식을 이용하면 두 물체의 나중 속도는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

       ---(16)

       ---(17)

최종 결론식은 (16)번과 (17)번 식입니다. 이 식을 이용하여 몇 몇 특별한 경우를 계산해 보시면 식이 맞는지 확인하실 수 있을 것입니다.

그냥 손으로 쓰면 쉽게 할 수 있는 것도 일일이 TeX명령어로 수식을 넣으려니 쉽지가 않네요. 참고로 아래는 제가 계산한 과정을 최종 정리한 것을 스캔해서 첨부합니다. 이 자료가 많은 분들께 도움이 되었으면 좋겠습니다.

[새길]