새길이 찾아가는 작은 세상

빛이나 파동이 다른 매질을 만나 속력이 바뀌면 진행 방향이 바뀌게 됩니다. 이런 현상을 굴절이라고 하지요. 그런데 왜 굴절 현상이 일어나게 되는 것일까요?

그림에서 A(0, 1)에서 B(1, -1)까지 파동이 진행한다고 했을 때 x축 위쪽에서의 파동의 속력을 , x축 아래에서의 속력을 라고 했을 때 파동은 가장 짧은 시간의 경로를 따라서 진행을 합니다. 점 D의 좌표를 x라고 했을 때 파동이 의 속력으로 진행하는 시간은 , 의 속력으로 진행하는 시간은 가 됩니다. 따라서 전체 이동 시간은 가 되고, 이 그래프가 초록색으로 표현된 그래프입니다. 그 중에서 이동 시간이 최소가 되는 지점의 점이 C가 되는데, A에서 출발한 파동은 C점의 x좌표인 D를 지나 B까지 이동하게 되는 것입니다. 속력 과 를 변경해 보면 파동의 이동 경로가 변경되는 것을 알 수 있습니다. 이런 굴절을 설명하는 법칙이 스넬 법칙입니다.

그러면 시간이 최소가 되는 경로의 좌표는 어떻게 찾을 수 있을까요?

이동 시간인 의 값이 최소가 되는 좌표의 값이므로 시간을 좌표 에 대하여 미분한 값이 0이 될 때의 좌표값이 그 점이 됩니다. 따라서 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.

여기서 입사각을 , 굴절각을 라고 하면 다음과 같은 식을 찾을 수 있습니다.

,

따라서 다음과 같이 식을 정리할 수 있습니다.

이것을 파동의 굴절을 설명하는 스넬 법칙이라고 합니다. 빛의 경우에 물질의 굴절률 을 다음과 같이 정의하면

스넬 법칙은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

한줄 요약 : 파동은 가장 짧은 시간동안에 이동할 수 있는 경로를 따라 이동한다.

이 글에서 사용한 GeoGebra파일은 다음에서 찾으실 수 있습니다.

http://www.geogebra.org/mr.saegil

위 사이트에서 v1값과 v2값을 변화시켜 보세요...^^